Johann Sebastian Bach y las Matemáticas

La música nos emociona porque apela a nuestras sensaciones y sentimientos. Nos hace evocar recuerdos, tiene el poder de asociarnos a un lugar o acontecimiento concretos. Además, las letras de las canciones y elementos musicales como la melodía, la armonía o el ritmo pueden contribuir a desarrollar en nosotros un impacto emocional más o menos profundo. Por supuesto, escuchar música grabada en un dispositivo no tiene la misma carga emocional que hacerlo en un concierto en directo, e incluso participar en la interpretación del mismo.

Pero es imposible dejar de lado la relación de la música con las matemáticas. Desde la frecuencia con que oscilan las notas musicales, hasta las armonías, pasando por las distintas escalas musicales, la duración de las notas, el timbre de cada instrumento, el ritmo, la métrica o la propia voz, hasta llegar a procedimientos matemáticos como la traslación, la inversión o la transposición, los conceptos matemáticos asociados a la música son enormes.

No olvidemos que ambas disciplinas, música y matemáticas necesitan de la creatividad para desarrollarse, que ambas utilizan lenguajes abstractos que deben aprenderse para su creación o para descifrarlas y que son lenguajes universales que nos ayudan a apreciar su belleza y expresión.

En MusiMáticas y PoeMáticas citaba el artículo Patrones matemáticos secretos revelados en la música de Bach en el que se trataba un estudio donde analizaron una serie de partituras del compositor y las redes musicales que generaban estas obras. Al representarlas como redes formadas por puntos (nodos) conectados con líneas (aristas) descubrieron que comunicaban una enorme cantidad de información que facilitaban la comprensión de los oyentes, cuantificando el contenido de esta información a través de la entropía de la información, un concepto matemático acuñado por Claude Shannon a mitad del siglo pasado.

Si algo tiene de importancia este trabajo sobre la música de Bach es que se puede extrapolar a otros compositores donde se encontrarán rasgos comunicativos similares, salvando las diferencias.

Aprovechando que cada 14 de marzo (3/14) se celebra el Día del Número Pi o el Día de las Matemáticas, te propongo un recorrido por algunos textos y músicas donde se aprecia la relación entre la música de Johann Sebastian Bach y las matemáticas. Si te gusta... ¡Comparte, comenta, sugiere!

La mayor parte de la música occidental se basa en muchos de los fundamentos y estructuras que Johann Sebastian Bach utilizó en sus obras. 

Durante los últimos veintisiete años de su vida ejerció su labor como Thomaskantor (Director del coro de la Iglesia de Santo Tomás) y director musical de las principales iglesias de la ciudad de Leipzig que le comprometían a proveerlas de música para las celebraciones semanales, además de formar al coro de niños e incluso de enseñarles latín, aunque para esta función logró que le consiguieran varios maestros que lo hicieran.

Para crear una producción tan amplia y exigente hubo de buscar formas que le ayudaran a desarrollar su ideas y motivos musicales a lo que le ayudó su mente matemática. Así, en sus composiciones aparecen multitud de fugas, invenciones a dos o más voces, cánones o la forma sonata con la que podía desarrollar temas musicales con cierta rapidez gracias a una creatividad y genialidad excepcionales. 

Su obra influyó en compositores como Haydn, Mozart o Beethoven, quienes apreciaron su habilidad para el contrapunto y el tratamiento que le imprimía a su música. La mayoría de compositores ha bebido en las fuentes de Bach, hasta el punto que autores contemporáneos como Philip Glass o Steve Reich han encontrado en las estructuras y repeticiones de Bach un modelo para la música minimalista. Otros como Uri Caine o Jacques Loussier han creado versiones  de las obras bachianas adaptadas a la música de jazz, e incluso bandas de rock como Emerson, Lake & Palmer han versionado sus obras para sus composiciones y conciertos.

Una muestra de la mente matemática de Bach la podemos encontrar, además de sus composiciones, en el monograma que utilizaba como firma en las cartas oficiales, para grabar en sus objetos personales y en la publicación de algunas partituras y documentos.

Se trata de un diseño que comenzó a utilizar en Lepizig formado por sus iniciales J.S.B. que se entrelazaba y superponía con el mismo diseño simétrico y al que añadió una corona por haber sido asignado como compositor de la corte real de Polonia y del Principado electoral de Sajonia. Este monograma también aparece en un solo objeto, aunque sin la corona. Se trata de una copa que le regalaron alrededor de 1735, según una versión unos alumnos adinerados por su cumpleaños, según otra al entrar en una sociedad musical. La copa está labrada con el monograma y la palabra latina VIVIT (vivir) cuyos extremos terminan en 14 puntos -que como veremos, es su número-, acompañada de un poema-puzzle dedicado a él y un pentagrama con su nombre en la notación alemana. Junto con una biblia, son los únicos objetos personales que se conservan del compositor.

En 1925 apareció un libro que despistó a los lectores por su procedencia. La pequeña crónica de Ana Magdalena Bach se editó de forma anónima en Inglaterra dando a entender que era una biografía del compositor escrita por su segunda esposa, una circunstancia que durante un tiempo se dio por cierta. En realidad, este libro escrito con un amor incondicional hacia Bach y ciertas dosis de romanticismo que pusieron sobre la pista a algunos críticos, fue escrito por la musicóloga británica Esther Meynell que acabó reconociendo su autoría. 

De todas formas es un librito delicioso que podríamos catalogar como una suerte de novela histórica, bien documentado y que, en su tiempo, llegó a interesar al público por la figura y la obra de Bach.

En el texto que nos acompaña comienza relatando la admiración que Johann Joachim Quantz, compositor y flautista alemán y profesor de ese instrumento de Federico II de Prusia profesaba a Bach. También comenta que el conocimiento que tenía de las matemáticas era intuitivo, además de conocer por su propia experiencia algunas propiedades del sonido, como narra en una anécdota sobre el teatro de la ópera de Berlín. Finaliza con una explicación sobre las clases con sus alumnos y la importancia  de seguir -o no- las reglas musicales, además de algunas referencias a frases de Lutero que se podrían aplicar al compositor.

No sólo son los juegos de simetría como el monograma los que atraían a Bach. También jugó con las notas de su nombre y los números asociados a ella. 

En el sistema de notación alemán no se utilizan las notas do, re, mi, fa, sol, la, si, do, sino que comienzan con la A asociada a La. De esta forma, la escala Do, re, mi, fa, sol, la, si bemol, si se corresponde con las letras C, D, E, F, G, A, B, H. Así, su apellido corresponde con las notas Si bemol, La, Do, Si. Este motivo fue utilizado por él en diversas composiciones, además de haberlo utilizado otros compositores para homenajearlo.

Además, hay un juego numérico que también utilizó con su nombre, asociando el número a cada letra A (La) el nº 1, B el 2, etc., obtuvo el número 14 (2+1+3+8 = BACH). Ya sin más notas, simplemente siguiendo el orden del abecedario, J. S. BACH sumaba 41, el número inverso al de su apellido y todas las letras de su nombre suponen 158, que sumando sus cifras (1+5+8) vuelve a dar 14. Juegos numéricos y matemáticos con los que se entretenía.

La primera música que nos acompaña es un trabajo sobre 7 de los 14 cánones de Bach donde se visualizan los mecanismos que el compositor utilizó a base de palíndromos y espejos. Se trata de un vídeo elaborado para el programa Masterpiece Album Plus de la cadena de televisión japonesa NHK.

La música original fue interpretada por Naoya Otsuka, profesor del Departamento de Música Antigua de la Universidad Nacional de Tokio en el clavecín, mientras Ritsuko Onishi y Rieko Ikeda interpretaban los violines, aunque la música grabada se reprodujo después con un software de sonido especial.

En el video se pueden visualizar gráficamente la melodía principal y sus imitaciones unos compases más tarde o en forma de espejo o cangrejo al invertir la melodía. Tras las dos primeras versiones, los cánones van complicando su estructura, aunque las grafías nos permiten seguir fácilmente la forma del canon.

La primera teoría que relaciona la música con las matemáticas proviene de Pitágoras que buscaba encontrar los patrones numéricos que intervienen en la música. Así, utilizó un monocordio, un instrumento musical de una cuerda que podía adoptar diversas longitudes. Al dividir la cuerda en partes iguales buscó los intervalos que producían sonidos más agradables, descubriendo que al realizar divisiones de longitudes en 12 partes se producían sonidos más armoniosos que con otras divisiones. Si se cambiaba la longitud de la cuerda y se volvía a dividir en doce partes se creaban sonidos en escalas superiores o inferiores, según el tamaño de la misma.

Esta teoría, que es la base de la notación occidental (7 notas naturales más 5 alteradas, y en el siglo XX con el dodecafonismo), se volvió a utilizar desde la Edad Media. Además, las matemáticas avanzaban y eran recientes las teorías de Leibniz, en especial la teoría combinatoria que, a efectos prácticos daban a entender que un número pequeño de elementos se podían combinar hasta forma una entre muchas posibilidades. 

Así, Bach comienza a aumentar las posibilidades de la música al combinar distintos instrumentos como los de teclado y cuerda, estudiando y componiendo en las distintas tonalidades, agregando textos e incorporando algunos de los recursos mencionados anteriormente. La música comenzaba a alcanzar cotas cada vez más diversas y ricas.

Guatemalteco, Óscar René Cruz Oliva hubo de establecerse en México hasta su fallecimiento (1933-2012). Entre sus obras destacan una serie de biografías breves de personajes históricos, además de varias novelas y libros dedicados a los palíndromos.

En Johann Sebastian Bach. El padre de la música, Cruz Oliva escribe una breve, concisa e interesante biografía del gran compositor barroco. En el texto que nos acompaña se detiene en relacionar su obra con las teorías de Leibniz, especialmente con El clave bien temperado, una obra que es, por una parte, un compendio de formas de música populares, por otra, un desarrollo del arte de la fuga y, sobre todo, un estudio sobre las posibilidades de la armonía y las distintas tonalidades en la música. 

El clave bien temperado no es en realidad una obra, sino un conjunto de piezas agrupadas en dos volúmenes, escritos y recopilados en 1722 el primero y en 1744 el segundo, aunque no fue impreso hasta después de su muerte. 

Cada uno de los libros está formado por 24 grupos de piezas, cada uno de ellos consistente en un preludio y una fuga en la misma tonalidad, hasta completar todas las tonalidades de mayor a menor en cada volumen. Es más interesante para los estudiantes y estudiosos que para el público por su interés por la tonalidad, aunque es complicado conocer dónde y cuándo se compusieron cada una de las piezas, así como el orden en el que fueron concebidas.

Aunque no estuviera publicado, Bach solía utilizar el primer libro como material de estudio de sus alumnos y en el segundo de ellos incorporó piezas con una complejidad más novedosa y acorde con el momento, pues algunas del primer libro habían quedado algo desplazadas por el tiempo.

Te dejo ahora con el inicio de El clave bien temperado. Se trata de un análisis armónico del Preludio 1 realizado por Tomás Gilabert, profesor de Análisis musical en el Conservatorio Superior de Valencia (CMSV) que se encuentra disponible en la página de YouTube Músicnetmaterials.

El estudio del contrapunto y el desarrollo de los distintos tipos de fuga forman parte del legado que nos ha dejado Johann Sebastian Bach entre muchas de sus obras maestras, como aquellas con las que debía surtir semanalmente los cultos en las iglesias de Leipzig, especialmente la de Santo Tomás.

A su forma de componer le ayudó su mentalidad con rasgos matemáticos que le ayudaron a componer con el uso de conceptos geométricos como las simetrías, las traslaciones y los giros que acompañaron su fecunda creatividad.

Tras varios años en que fue insistido por su antiguo alumno, músico y médico Lorenz Chistoph Mizler, en 1747 ingresó en la Sozietät der Musicalischen Wissenschaten (Sociedad de las Ciencias Musicales) como su miembro número 14, cuyo propósito era investigar la relación entre la música y las matemáticas. El propio Mizler, que había publicado un tratado de composición basado en el Ars Combinatoria de Leibniz, era el fundador de esta sociedad que tan solo llegó a contar con veinte miembros. Para entrar en la sociedad el compositor hubo de aportar un retrato suyo y dos obras. El retrato fue pintado por Elias Gottlob Haussmann, aparece el compositor llevando en su mano una de las composiciones con que contribuyó a la Societät, el más conocido de los que nos muestran la figura del músico alemán.

Las obras que entregó a modo de trabajo científico para acceder a esta sociedad fueron el Canon Triplex a seis voces inspirado en las Variaciones Goldberg y una pieza basada en Von Himmel hoch, BWV 769.

 

El último texto que te ofrezco pertenece al artículo Las matemáticas de Johann Sebastian Bach publicado en nº 61 de la Revista Suma por Vicente Liern Carrión de la Universitat de València Estudi General. En él analiza la relación del compositor alemán y las matemáticas, de modo especial la geometría. Dos extractos nos acompañan. En el primero se hace referencia al ingreso de Bach en la Sociedad de Ciencias Musicales, mientras que en el segundo se analiza la estructura de algunas de sus obras desde el punto de vista de la geometría. El ejemplo final relacionado con la fuga a seis voces con la dificultad añadida de que es improvisada, indica la dificultad del ejercicio.

   

Para terminar esta publicación sobre Bach y las matemáticas te acompaña un vídeo sobre una de las dos composiciones que entregó para su entrada en la Sociedad de las Ciencias Musicales. Se trata del Canon Triplex a seis voces, BWV 1076 a partir de su obra las Variaciones Goldberg.

Se trata de un vídeo realizado para celebrar el cumpleaños de Bach el 21 de marzo en el que se muestra los tres pentagramas de los instrumentos que forman parte de la breve pieza, señalando después el canon de cada uno de ellos que comienza con un compás de retraso respecto a la melodía original. Una vez presentados, comienza el canon en sí con un diseño gráfico en el que se aprecia la interpretación. Esta obra se ha adaptado en ocasiones para ser interpretada por seis instrumentos diferentes, pudiendo encontrar en las redes muchas de ellas.

Por si tienes interés en leerlas, te muestro los enlaces a dos publicaciones de este blog relacionadas con el Día del Número Pi o Día de las Matemáticas:

-¡Feliz día Número Pi!, con Rafael Alberti, Wislawa Szymborska, Monteallegro, Les Luthiers, Mozart y el Canon del Cangrejo de Bach. 

-MusiMáticas y Poemáticas, con obras de Bach, Béla Bartók, Wagner, Neruda, Salinas y el colectivo OuLiPo.

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Bibliografía y webgrafía consultadas:

• Meynell, Esther. La pequeña crónica de Ana Magdalena Bach, Editorial Juventud, S. A. Madrid (1994). ISBN: 9788426127976.
• Cruz Oliva, Óscar René. Johann Sebastian Bach. El padre de la música, idb.com LLC. ISBN: 9798481415840
• Liern Carrión, Vicente. Las matemáticas de Johann Sebastian Bach. Revista Suma, nº 61, junio de 2009, páginas 113-118. Universidad de València, Estudi General.